1. 푸아송 분포

- 전체 시간 또는 공간의 크기가 일정하게 주어지고 여기서 단위시간 또는 단위공간 당 사건이 일어날 확률이 일정할 때, 이러한 사건의 확률분포는 이항확률분포이다. 푸아송 분포는, 단위시간 또는 단위공간 당 사건이 일어날 확률을 정확히 알 수는 없으나 전체 시간 또는 공간 내에서 평균적으로 사건이 일어나는 횟수는 알 때의 확률분포다.

- 푸아송 분포는 이항확률분포의 시행횟수가 무한대로 커지는 한편 그만큼 시행 당 사건이 일어날 확률도 작아져 사건이 일어나는 평균 횟수가 일정하게 유지될 때 그 극한과 같다. 이러한 특성을 이용하여, 푸아송 분포의 평균 \(\lambda\)가 주어질 때 이러한 푸아송 분포의 확률분포함수를 구하면 다음과 같다.

\[P(X=x) = \lambda ^ x \;\; { e^{-\lambda} \over x!}\quad (x=0, 1, 2, \cdots)\]

- 푸아송 분포의 평균이 \(\lambda\)로 주어질 때 이 푸아송 분포의 분산은 \(\lambda\)이다.

2. 지수분포

- 어떤 사건의 확률분포가 푸아송 분포를 따른다고 할 때, 그 사건이 1회 일어난 후 바로 다음 번에 또 다시 일어날 때까지 걸리는 시간을 확률변수로 하는 확률분포에 대해 생각할 수 있다. 이 확률분포의 확률변수는 연속확률변수이므로, 확률분포함수는 확률밀도함수의 적분값으로 구해진다. 이 확률밀도함수는 변수 \(t\)에 대해 \(e^{at}\) 꼴로 구해지므로, 이 확률분포를 흔히 지수분포(exponential distribution)이라 한다.

- 평균 \(\lambda\)인 푸아송 분포의 지수분포의 확률분포함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[P(a \le T \le b) = \int_a^b f(t) dt, \quad f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\]

- 평균 \(\lambda\)인 푸아송 분포의 지수분포의 평균은 \(1 \over \lambda\)이고, 분산은 \(1 \over \lambda^2 \)이다.