1. 개요

- 어떤 \(n \times n\) 행렬 \(A\)에 대해, \(A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) 을 만족하는 0 아닌 열벡터 \(\mathbf{v}\)와 상수 \(\lambda\)가 존재하는 경우가 있다. 이때의 열벡터 \(\mathbf{v}\)를 고유벡터, 상수 \(\lambda\)를 고유값이라 한다.

  • 고유값은 실수가 아니라 허수부를 갖는 복소수일 수도 있다.

- 기하학적으로 고유벡터와 고유값의 의미에 대해 생각해 보면, \(n \times n\) 행렬 \(A\)에 열벡터 \(\mathbf{v}\)를 곱한다는 것은 열벡터 \(\mathbf{v}\)를 행렬 \(A\)만큼 회전 변환을 수행한다는 의미이고, 그 결과값이 \(\mathbf{v}\)의 상수배라는 것은 회전 변환에도 불구하고 그 열벡터만큼은 방향이 바뀌지 않았으되 다만 크기가 그 상수배만큼 바뀌었음을 뜻한다.

  • 예를 들어 회전하는 구 내부 또는 표면상의 한 좌표가 구가 회전한 후 어떤 좌표값을 갖는지를 계산하는 문제를 생각할 수 있다. 이 회전을 뜻하는 변환 행렬의 고유벡터는 이 구의 축을 가리키는 벡터와 같고, 고유값은 회전의 결과로 축 위의 어떤 점이 얼만큼 구의 중심에서 멀어지거나 가까워졌는지를 나타내는 지표와 같다고 말할 수 있다.

- 행렬 \(A\)가 역행렬을 갖는다면 행렬 \(A\)는 고유값으로 0을 갖지 않는다.

2. 고유값과 고유벡터가 존재할 조건

\[A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\quad\qquad\qquad\] \[(A-\lambda E)\mathbf{v} = \mathbf{0}\;\qquad \cdots(a)\]

(1) 고유벡터가 존재할 조건

  • 일단 정의에 의해, 고유값 \(\lambda\)가 존재해야 고유벡터 \(\mathbf{v}\)도 존재한다.

  • 위 식 (a)를 보면, 행렬 \((A-\lambda E)\)가 역행렬이 존재한다면 \(\mathbf{v}\)의 값이 \(\mathbf{0}\)이 된다. 그러나 이는 정의와 맞지 않으므로, 결론적으로 행렬 \((A-\lambda E)\)가 역행렬이 존재하지 않아야 행렬 \(A\)의 고유벡터가 존재한다.

(2) 고유값이 존재할 조건

  • 일단 정의에 의해, 고유벡터 \(\mathbf{v}\)가 존재해야 고유값 \(\lambda\)도 존재한다.

  • 앞에서 고유벡터 \(\mathbf{v}\)가 존재하려면 행렬 \((A-\lambda E)\)가 역행렬이 존재하지 않아야 한다고 했는데 이는 곧 \(det(A-\lambda E) = 0\)이어야 함을 뜻한다. 이 식은 \(\lambda\)에 관한 방정식이므로(이러한 방정식을 ‘특성방정식’이라 한다), 결국 이 방정식의 해가 존재해야 고유값 \(\lambda\)도 존재한다.

* 참고로, 행렬 \(A\)가 역행렬을 갖지 않는 것과 고유값이 존재하는 것은 상관이 없다. 다만 \(A\)가 역행렬을 갖지 않는다면 고유값으로 0을 가짐이 알려져 있다.

3. 고유값 관련 성질

  • 고유값이 존재한다면 0 아닌 고유값의 개수는 \(rank(A)\)와, 모든 고유값의 합은 \(\mathrm{tr}(A)\)와, 모든 고유값의 곱은 \(det(A)\)와 일치한다.

  • \(A\)의 고유값 \(\lambda\)에 대해, \(A^{-1}\)이 존재한다면 \({1 \over \lambda}\)은 \(A^{-1}\)의 고유값이다.

  • 어떤 대각행렬 \(diag(d_1, \cdots, d_n)\)은 고유값으로 \(d_1, \cdots, d_n\)를 갖는다.

  • \(A\)의 고유벡터들을 각 열의 성분으로 하는 행렬 \(X\)와 \(A\)의 고유값으로 이루어진 대각행렬 \(\Lambda = diag(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)에 대해, \(A X = X \Lambda\) 이다. 이 식으로부터, \(X\)가 역행렬이 존재한다면 \(A = X \Lambda X^{-1}\)임을 알 수 있다. 이처럼 어떤 행렬을 고유벡터로 이루어진 행렬과 대각성분이 고유값인 대각행렬의 곱 형태로 인수분해 하는 것을 고유값 분해(eigenvalue decomposition) 또는 대각화(diagonalization)라 한다.

4. 대칭행렬과 고유값

- 어떤 \(n \times n\) 대칭행렬 \(A\)에 대해 다음이 성립한다.

  • \(A\)의 고유값들은 모두 실수이다.

  • \(A\)의 고유벡터들은 모두 서로 직교하며 각각의 크기는 모두 1이다. (즉, orthonormal하다.)

    • orthonormal matrix는 그 역행렬이 그것의 전치행렬이므로, \(A\)의 고유값분해 식을 \(A=U \Lambda U^{-1}\)라 하면 \(A=U \Lambda U^T\)로도 쓸 수 있다. (이를 특별히 직교 대각화라고도 한다.)

  • \(A\)의 고유값이 모두 양수라면 \(A\)는 양의 정부호 행렬이다. 이는 다음을 통해 증명할 수 있다.

    \(A\)와 임의의 \(n\)-벡터 \(\mathbf{x}\)에 대한 이차형식 \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = (U^T \mathbf{x})^T \Lambda (U^T \mathbf{x})\) 로 쓸 수 있다. 여기서 \(\mathbf{y}\)를 다음과 같이 정의 할 수 있다.

    \[\mathbf{y} = U^T \mathbf{x} = \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_n \end{bmatrix}\]

    그러면 \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{y}^T \Lambda \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_{i}^{2}\) 로 쓸 수 있다. 여기서, \(A\)의 고유값이 모두 양수라면 \(A\)이 양의 정부호 행렬이 됨을 알 수 있다.