* 전치행렬

\[(AB)^T = B^T A^T\] \[(A+B)^T = A^T + B^T\] \[(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\] \[det(A) = det(A^{T})\]

* 대칭행렬/반대칭행렬

- \(A = A^T\)일 때 대칭, \(A = -A^T \)일 때 반대칭이라 한다.

- \(A A^T\), \(A + A^T\)는 항상 대칭행렬이다.

- \(A-A^T\)는 항상 반대칭행렬이다.

* 대각합

- 정방행렬에 대하여 ‘대각합’이라는 연산이 정의된다. \(n \times n\) 행렬 \(A\)의 대각합 \( \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i, i}\) 이다.

  • 임의의 실수 \(t\)에 대해, \(\mathrm{tr}(tA) = t \mathrm{tr}(A)\) 이다.

  • 두 행렬 \(A, B\)에 대해 다음이 성립한다.

    • \(A, B\)의 크기가 서로 같다면, \(\mathrm{tr}(A+B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)\) 이다.

    • \(AB\)가 정방행렬이라면, \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) 이다.

  • 세 행렬 \(A, B, C\)에 대해, \(ABC\)가 정방행렬이라면 \(\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BCA) = \mathrm{tr}(CAB)\) 이다.

* Frobenius norm

- 크기가 \(m \times n\)인 임의의 행렬 \(A\)에 대해, \(A\)의 Frobenius norm은 \( \sqrt{ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i, j} ^ 2 }\) 으로 정의된다. (즉, 벡터의 L2 norm의 정의를 행렬으로 확장한 것이다.)

- \(\sqrt{tr(A^T A)}\) 또한 Frobenius norm과 같다.

* rank

- 어떤 행렬을 구성하는 열벡터 또는 행벡터 중 서로 선형독립인 열벡터/행벡터의 최대 개수를 그 행렬의 rank라 한다. 구체적으로, 행렬을 구성하는 열벡터 중 서로 선형독립인 열벡터의 최대 개수를 그 행렬의 column rank, 행렬을 구성하는 행벡터 중 서로 선형독립인 행벡터의 최대 개수를 그 행렬의 row rank라 한다. 단, 모든 행렬의 column rank와 row rank는 항상 동일함이 알려져 있다.

- 임의의 \(m \times n\) 행렬 \(A\)에 대해 다음이 성립한다.

  • \(\mathrm{rank}(A)\)는 \(m, n\) 중 작은 값보다 작거나 같다. \(\mathrm{rank}(A)\)가 \(m, n\) 중 작은 값과 같은 경우 \(A\)를 full rank라 한다.

    • full rank인 행렬의 경우에만 역행렬이 존재한다. 즉, full rank가 아닌 행렬은 역행렬이 존재하지 않는다.

  • \(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A^T)\)

* 행렬식의 기하학적 성질

- 어떤 행렬 \(A\)의 range 안에서 \(A\)의 행벡터의 계수가 0과 1사이인 linear combination에 해당하는 벡터들로 만든 공간의 부피는 \(det(A)\)와 같다.

  • \(det(A)=0\)이라면 \(\mathcal{R}(A)\)가 만드는 공간의 부피가 0임을 알 수 있다.